Cálculo Integral en Una Variable
El cálculo integral es la rama de las matemáticas que estudia sumatorias continuas de cantidades infinitamente pequeñas (infinitesimales), que en definitiva permite resolver problemas tales como el área bajo la curva de una función.
A diferencial del artículo anterior, en este caso no será necesaria una introducción, puesto que los conceptos de función, función linea, y otros ya fueron tratados en el mismo.
Definición de Integral Definida
Comenzaremos estudiando el problema que da origen al Cálculo Integral: el cálculo del área bajo la curva de una función f(x), en un intervalo determinado de la variable independiente (digamos, entre a y b). "Bajo" se refiere a que es el área por debajo de la curva, y a la vez por sobre el eje horizontal. Ver la figura siguiente.
Además, consideraremos que se trata de un "área algebraica", es decir, que la misma será positiva en los tramos en que la función sea positiva, y negativa en caso contrario; si el intervalo de interés contiene tramos positivos y negativos, el área deseada será la sumatoria neta considerando los signos de dichas áreas.
De manera similar a como se logró definir matemáticamente la derivada por medio de la aproximación desde la rapidez media de cambio hasta la rapidez instantánea, en principio se considerará una aproximación del área bajo la curva. Posteriormente se presentará la metodología para calcularla en forma exacta.
El método más conocido para aproximar este tipo de áreas se denomina Suma de Riemann. En términos prácticos, éste consiste en subdividir el intervalo entre a y b en un conjunto de sub-intervalos más pequeños, que no se solapan entre sí y que usualmente se consideran de la misma longitud. Lo anterior permite aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos asociados a cada sub-intervalo, con alturas que correspondan a algún valor de la función dentro de los mismos. Las imágenes siguientes ilustran lo anterior:
Por lo general, los valores de altura de cada rectángulo de escogen de 2 modos distintos: para los mínimos valores de la función en cada sub-intervalo (Sumas Inferiores, figura de la izquierda) o los máximos (Sumas Superiores, figura de la derecha). Finalmente, en cada caso, la suma de las áreas de los rectángulos dará una buena aproximación del área (menor o mayor que el valor exacto, respectivamente), en la medida que se puedan escoger intervalos pequeños.
Lo anterior se puede escribir analíticamente del modo siguiente: si subdividimos el intervalo desde a hasta b en n sub-intervalos entre puntos que van desde x0 = a hasta xn = b:
y, por otro lado, si tenemos también que en el k-ésimo intervalo existen valores mínimos y máximos de dicha función, que se denominarán por m(tk) y M(tk), respectivamente; entonces, en forma expandida, las sumas inferior y superior son:
Éstas se pueden escribir en forma más compacta con el símbolo de sumatoria. Por lo tanto, la Suma Inferior se puede escribir:
mientras que la Suma Superior sería:
en donde en ambos casos el símbolo de sumatoria indica que se suman los términos para todos los k = 1, 2, 3, ..... , n -1, n. Además, para escribir la sumatoria del modo más compacto que se muestra en el lado derecho de cada igualdad, se definió:
Ahora bien, si logramos que la longitud de los intervalos se torne cada vez menor, el resultado de ambas sumas será cada vez más cercano al área exacta que buscamos. Por lo tanto, similarmente a lo efectuado anteriormente para el concepto de derivada, podemos definir el área como el límite de las sumas cuando dicho intervalo tiende a cero:
A partir de lo anterior, se define al valor exacto como la Integral Definida de la función f(x) en el intervalo entre a y b, lo cual tiene la siguiente notación:
De este modo, dicha integral es igual a los límites anteriormente mencionados:
La notación de integral nace "casi naturalmente" a partir de la notación de las sumatorias:
El apartado recién expuesto permitió definir el concepto de Integral Definida. Según éste, no pareciera existir alguna relación entre la determinación de estas integrales y la derivación; sin embargo, se verá que dicha relación existe, y que es en realidad bastante estrecha.
Comenzaremos definiendo qué es una primitiva. Una primitiva o antiderivada de una función corresponde a otra función cuya derivada es la que se consideró en primer lugar. Por lo tanto, si decimos que una función F(x) corresponde a una primitiva de la función f(x), entonces se cumple lo siguiente:
Cuando se calcula la derivada de una función, el resultado es único; sin embargo, cuando se busca la primitiva de una función, los resultados son infinitos. Esto se debe a que, si continuamos estableciendo que F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier función de la forma F(x) + C, con C una constante numérica cualquiera, será también una primitiva. Al conjunto de todas las primitivas de una función se le denomina Integral Indefinida, y se simboliza del mismo modo que la Integral Definida, sólo que sin los números que definen el intervalo de integración. Entonces, podemos escribir:
Como un ejemplo simple, podemos señalar que una primitiva de la función cos(x) es la función sin(x). Ahora bien, la función sin(x) + 3 es una primitiva también, sin(x) + 11 también, y en general cualquier función de la forma sin(x) + C, con C una constante numérica. Por lo tanto, su Integral Indefinida es:
Existen muchos casos de funciones simples para los cuales es posible obtener fácilmente sus primitivas simplemente invirtiendo algunas de las fórmulas estudiadas en el artículo de Cálculo Diferencial. En otros casos, el cálculo de primitivas no es tan evidente, de modo que deben obtenerse mediante métodos específicos que se ven en detalle en cursos de matemática (por ejemplo, cambio de variable, integración por partes, etc).
De todos modos, se citan a continuación las propiedades más relevantes para el cálculo de integrales indefinidas:
Una vez entendido lo anterior, podemos aplicarlo para el cálculo de integrales definidas. Para ello, se utiliza por lo general la llamada Regla de Barrow, la cual se demuestra en cursos de matemática. Esta regla indica que, para calcular una integral definida, primero se debe obtener una primitiva de la función a integral; luego, se obtiene dicha primitiva evaluada en los extremos de integración: la diferencia entre ambos valores es el valor buscado. Analíticamente, se puede escribir como sigue:
en donde la expresión a la derecha de F(b) - F(a) sólo corresponde a una alternativa más compacta para escribir dicha diferencia.
Como ejemplo ilustrativo, consideremos el cálculo el área bajo f(x) = x para x entre 0 y 1. Corresponde al área amarilla mostrada en la siguiente figura:
Por geometría básica, sabemos que es un triángulo rectángulo, con ambos catetos iguales a uno; por lo tanto, su área vale 1/2 * 1 * 1 = 1/2.
Ahora bien, se procederá a calcular por medio de la regla de Barrow para demostrar que se llega a un resultado equivalente. En primer lugar, se tiene que la integral definida asociada es:
Luego, aplicando la regla de Barrow junto con una de las propiedades de cálculo de primitivas:
obteniéndose el resultado esperado.
Aplicaciones del Cálculo Integral
En las ramas de la ciencia y tecnología, la principal aplicación del cálculo integral consiste en obtener la variación total de una variable, cuando se conoce su tasa de variación.
Para aclarar lo anterior, se regresará al ejemplo del vehículo en carretera recta del artículo de Cálculo Diferencial, considerando que su rapidez no es constante en el tiempo. Recordaremos la ecuación que relaciona dicha rapidez con los diferenciales de posición y tiempo:
Consideremos ahora que el móvil en un principio en una posición xi en un instante ti, y que luego se encuentra en una posición xf en un instante tf. Aplicando la integral definida a ambos lados de la ecuación, con intervalo de integración desde el instante i hasta el f, resulta:
en donde en cada caso se utilizaron los extremos de integración correspondiente a la variable del diferencial de la integral. La resolución del lado izquierdo es trivial, puesto que simplemente se calcula la primitiva de la función constante f(x) = 1 y se evalúa entre las posiciones i y f:
Con esta última expresión, podemos calcular el cambio de posición del móvil si conocemos los instantes inicial y final, la posición inicial, y la rapidez en función del tiempo en todo ese intervalo.
Recordando el artículo de cálculo diferencial, particularicemos para el caso de movimiento rectilíneo uniforme (rapidez constante v). Siendo así, podemos simplemente sacar a v de la integral y resolver la que queda, resultando:
de donde obtenemos que, para este movimiento, los cambios de posición son directamente proporcionales a los cambios de tiempo. Esto es totalmente concordante con un movimiento de rapidez constante.
Consideremos ahora un caso no tan trivial: el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que también se estudió en el artículo anterior. Para ese caso, recordemos que obtuvimos que la rapidez variaba linealmente con el tiempo, a una tasa dada por la aceleración:
Como ahora v no es constante, no podemos sacarla de la integral como hicimos antes. Por lo tanto, deberemos remplazar a v en función del tiempo y resolver la integral (recordando que v0 y a sí son constantes):
expresión que es muy similar a la obtenida para este tipo de movimiento en el artículo anterior, haciendo ti = 0 .
Otra aplicación bastante poderosa del cálculo integral corresponde a la determinación de áreas y volúmenes de objetos geométricos. Aunque muchas veces se aplica para ello integración en varias variables, aquí utilizaremos sólo integración en una variable con el fin de utilizar sólo la teoría expuesta en este artículo.
Comenzaremos con un ejemplo simple: supongamos que queremos calcular el área de un círculo de radio R conocido. No conocemos la fórmula correspondiente, pero sí sabemos calcular su perímetro. El cálculo integral no permite calcular dicha área en base a lo anterior. Supongamos que subdividimos el círculo en muchos anillos concéntricos, de espesor infinitesimal. Ver la figura siguiente:
Llamaremos r al radio variable de dichos anillos, y por lo tanto su espesor corresponderá a un cambio infinitesimal de dicho radio: dr. Se entiende entonces que el mínimo valor que puede tomar r es 0, y que el máximo es R.
Cada anillo posee un perímetro de su circunferencia dado por:
según la conocida fórmula geométrica. Ahora bien, cada anillo, al tener un espesor infinitesimal, posee también un área infinitesimal. Podemos expresar dicha área si pensamos que los delgados anillos pueden extenderse como una cinta, de modo que nos quedaría un rectángulo como el que sigue:
De este modo, podemos expresar el área diferencial de cada anillo, dA, del modo siguiente:
Podemos calcular el área total del círculo de radio R si sumamos en forma continua las contribuciones de todos los anillos de radio r entre 0 y R. Esta adición la podemos llevar a cabo por medio de integración:
Luego, resolviendo la integral, podemos llegar al valor buscado:
La última expresión coincide con la conocida fórmula del área de un círculo.
A continuación vamos a estudiar otro ejemplo, esta vez concerniente a cálculo de volumen de un sólido, para el cual utilizaremos la fórmula de área de un círculo ya deducida.
Consideremos un cono de altura L y radio basal R, ambos conocidos. Por supuesto, asumiremos que no conocemos la fórmula para obtener su volumen directamente en función de estas medidas. Para ello, consideraremos que el cono puede ser subdividido en platos circulares de espesor infinitesimal, cuyo radio es pequeño al estar cerca de la cúspide del cono, y va creciendo al alejarse de él hasta lograr el tamaño de la base al alcanzar esta última. Ver el diagrama siguiente:
Llamaremos x a la variable que representa la distancia desde el plato hasta la cúspide, de modo que el espesor infinitesimal del mismo queda definido por dx. Identificaremos también con la variable r al radio de dicho plato. Es claro que tanto x como r dependerán de la ubicación de cada plato a lo largo de la integración, la cual podremos llevar a cabo sólo respecto de una de ellas; por lo tanto, el primer paso será expresar r en función de x, para así integrar posteriormente sólo respecto de x.
Las variables r y x definen un cono de la misma forma que R y L, sólo que más pequeño; por lo tanto, se encuentran en la misma proporción. De este modo, podemos escribir:
con lo cual se logra expresar r en función de x.
Acto seguido, estableceremos el volumen infinitesimal de los platos que luego de integrarán. Éstos se pueden considerar como cilindros achatados, con un círculo de radio r como base y altura dx. Por lo tanto, el volumen infinitesimal corresponde a:
Luego, remplazando r por la expresión anterior, con el fin de sólo dejar dependencia de la variable x, resulta:
Ahora bien, para calcular el volumen total del cono se debe integrar la expresión anterior, considerando una variación de x desde 0 hasta L para componer el cono por completo:
Luego, resolviendo la integral:
podemos llegar al resultado final:
que corresponde exactamente a la conocida expresión para calcular el volumen de un cono.
Con esto concluye el presente artículo, así como la preparación matemática necesaria para comenzar a tratar temas de Física.
Además, consideraremos que se trata de un "área algebraica", es decir, que la misma será positiva en los tramos en que la función sea positiva, y negativa en caso contrario; si el intervalo de interés contiene tramos positivos y negativos, el área deseada será la sumatoria neta considerando los signos de dichas áreas.
De manera similar a como se logró definir matemáticamente la derivada por medio de la aproximación desde la rapidez media de cambio hasta la rapidez instantánea, en principio se considerará una aproximación del área bajo la curva. Posteriormente se presentará la metodología para calcularla en forma exacta.
El método más conocido para aproximar este tipo de áreas se denomina Suma de Riemann. En términos prácticos, éste consiste en subdividir el intervalo entre a y b en un conjunto de sub-intervalos más pequeños, que no se solapan entre sí y que usualmente se consideran de la misma longitud. Lo anterior permite aproximar el área bajo la curva mediante rectángulos asociados a cada sub-intervalo, con alturas que correspondan a algún valor de la función dentro de los mismos. Las imágenes siguientes ilustran lo anterior:
Por lo general, los valores de altura de cada rectángulo de escogen de 2 modos distintos: para los mínimos valores de la función en cada sub-intervalo (Sumas Inferiores, figura de la izquierda) o los máximos (Sumas Superiores, figura de la derecha). Finalmente, en cada caso, la suma de las áreas de los rectángulos dará una buena aproximación del área (menor o mayor que el valor exacto, respectivamente), en la medida que se puedan escoger intervalos pequeños.
Lo anterior se puede escribir analíticamente del modo siguiente: si subdividimos el intervalo desde a hasta b en n sub-intervalos entre puntos que van desde x0 = a hasta xn = b:
y, por otro lado, si tenemos también que en el k-ésimo intervalo existen valores mínimos y máximos de dicha función, que se denominarán por m(tk) y M(tk), respectivamente; entonces, en forma expandida, las sumas inferior y superior son:
Éstas se pueden escribir en forma más compacta con el símbolo de sumatoria. Por lo tanto, la Suma Inferior se puede escribir:
mientras que la Suma Superior sería:
en donde en ambos casos el símbolo de sumatoria indica que se suman los términos para todos los k = 1, 2, 3, ..... , n -1, n. Además, para escribir la sumatoria del modo más compacto que se muestra en el lado derecho de cada igualdad, se definió:
Ahora bien, si logramos que la longitud de los intervalos se torne cada vez menor, el resultado de ambas sumas será cada vez más cercano al área exacta que buscamos. Por lo tanto, similarmente a lo efectuado anteriormente para el concepto de derivada, podemos definir el área como el límite de las sumas cuando dicho intervalo tiende a cero:
A partir de lo anterior, se define al valor exacto como la Integral Definida de la función f(x) en el intervalo entre a y b, lo cual tiene la siguiente notación:
De este modo, dicha integral es igual a los límites anteriormente mencionados:
La notación de integral nace "casi naturalmente" a partir de la notación de las sumatorias:
- El símbolo de sumatoria usual se transforma en un símbolo similar a una "S" alargada, para dar la idea de que integral considera una sumatoria continua:
- Dado que los sub-intervalos colapsan a simples puntos, los anteriores máximos y mínimos coinciden simplemente con la función evaluada en cada punto:
- El ancho de cada sub-intervalo termina colapsando a un diferencial de la variable independiente:
Cálculo de Integrales Definidas mediante Primitivas
Comenzaremos definiendo qué es una primitiva. Una primitiva o antiderivada de una función corresponde a otra función cuya derivada es la que se consideró en primer lugar. Por lo tanto, si decimos que una función F(x) corresponde a una primitiva de la función f(x), entonces se cumple lo siguiente:
Cuando se calcula la derivada de una función, el resultado es único; sin embargo, cuando se busca la primitiva de una función, los resultados son infinitos. Esto se debe a que, si continuamos estableciendo que F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier función de la forma F(x) + C, con C una constante numérica cualquiera, será también una primitiva. Al conjunto de todas las primitivas de una función se le denomina Integral Indefinida, y se simboliza del mismo modo que la Integral Definida, sólo que sin los números que definen el intervalo de integración. Entonces, podemos escribir:
Como un ejemplo simple, podemos señalar que una primitiva de la función cos(x) es la función sin(x). Ahora bien, la función sin(x) + 3 es una primitiva también, sin(x) + 11 también, y en general cualquier función de la forma sin(x) + C, con C una constante numérica. Por lo tanto, su Integral Indefinida es:
Existen muchos casos de funciones simples para los cuales es posible obtener fácilmente sus primitivas simplemente invirtiendo algunas de las fórmulas estudiadas en el artículo de Cálculo Diferencial. En otros casos, el cálculo de primitivas no es tan evidente, de modo que deben obtenerse mediante métodos específicos que se ven en detalle en cursos de matemática (por ejemplo, cambio de variable, integración por partes, etc).
De todos modos, se citan a continuación las propiedades más relevantes para el cálculo de integrales indefinidas:
- Integrar la suma o diferencia de dos funciones equivale a integrar cada una por separado y luego sumar o restas los resultados, según corresponda:
- Integrar una función multiplicada por una constante K, equivale a integrar la función individualmente, y luego multiplicar el resultado por dicha constante:
- Integrar una función en la cual la variable independiente está aumentada en una constante K:
- Integrar una función en la cual la variable independiente está multiplicada por una constante K:
- Integrar una función de la variable independiente elevada a algún exponente, corresponde a dicha variable elevada a dicho exponente más uno, y luego dividido por el primer exponente más uno (exceptuando cuando n = -1):
- Integrar la función exponencial equivale a sí misma:
- Integral la función de inverso multiplicativo, corresponde al logaritmo natural del valor absoluto de su argumento (si para algún caso particular supiésemos que siempre x > 0, entonces la inclusión de valor absoluto se vuelve innecesaria):
- Integrar la función seno equivale al negativo de la función coseno:
- Integrar la función coseno equivale a la función seno:
en donde la expresión a la derecha de F(b) - F(a) sólo corresponde a una alternativa más compacta para escribir dicha diferencia.
Como ejemplo ilustrativo, consideremos el cálculo el área bajo f(x) = x para x entre 0 y 1. Corresponde al área amarilla mostrada en la siguiente figura:
Por geometría básica, sabemos que es un triángulo rectángulo, con ambos catetos iguales a uno; por lo tanto, su área vale 1/2 * 1 * 1 = 1/2.
Ahora bien, se procederá a calcular por medio de la regla de Barrow para demostrar que se llega a un resultado equivalente. En primer lugar, se tiene que la integral definida asociada es:
Luego, aplicando la regla de Barrow junto con una de las propiedades de cálculo de primitivas:
obteniéndose el resultado esperado.
Aplicaciones del Cálculo Integral
Para aclarar lo anterior, se regresará al ejemplo del vehículo en carretera recta del artículo de Cálculo Diferencial, considerando que su rapidez no es constante en el tiempo. Recordaremos la ecuación que relaciona dicha rapidez con los diferenciales de posición y tiempo:
Consideremos ahora que el móvil en un principio en una posición xi en un instante ti, y que luego se encuentra en una posición xf en un instante tf. Aplicando la integral definida a ambos lados de la ecuación, con intervalo de integración desde el instante i hasta el f, resulta:
en donde en cada caso se utilizaron los extremos de integración correspondiente a la variable del diferencial de la integral. La resolución del lado izquierdo es trivial, puesto que simplemente se calcula la primitiva de la función constante f(x) = 1 y se evalúa entre las posiciones i y f:
Con esta última expresión, podemos calcular el cambio de posición del móvil si conocemos los instantes inicial y final, la posición inicial, y la rapidez en función del tiempo en todo ese intervalo.
Recordando el artículo de cálculo diferencial, particularicemos para el caso de movimiento rectilíneo uniforme (rapidez constante v). Siendo así, podemos simplemente sacar a v de la integral y resolver la que queda, resultando:
de donde obtenemos que, para este movimiento, los cambios de posición son directamente proporcionales a los cambios de tiempo. Esto es totalmente concordante con un movimiento de rapidez constante.
Consideremos ahora un caso no tan trivial: el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que también se estudió en el artículo anterior. Para ese caso, recordemos que obtuvimos que la rapidez variaba linealmente con el tiempo, a una tasa dada por la aceleración:
Como ahora v no es constante, no podemos sacarla de la integral como hicimos antes. Por lo tanto, deberemos remplazar a v en función del tiempo y resolver la integral (recordando que v0 y a sí son constantes):
expresión que es muy similar a la obtenida para este tipo de movimiento en el artículo anterior, haciendo ti = 0 .
Otra aplicación bastante poderosa del cálculo integral corresponde a la determinación de áreas y volúmenes de objetos geométricos. Aunque muchas veces se aplica para ello integración en varias variables, aquí utilizaremos sólo integración en una variable con el fin de utilizar sólo la teoría expuesta en este artículo.
Comenzaremos con un ejemplo simple: supongamos que queremos calcular el área de un círculo de radio R conocido. No conocemos la fórmula correspondiente, pero sí sabemos calcular su perímetro. El cálculo integral no permite calcular dicha área en base a lo anterior. Supongamos que subdividimos el círculo en muchos anillos concéntricos, de espesor infinitesimal. Ver la figura siguiente:
Llamaremos r al radio variable de dichos anillos, y por lo tanto su espesor corresponderá a un cambio infinitesimal de dicho radio: dr. Se entiende entonces que el mínimo valor que puede tomar r es 0, y que el máximo es R.
Cada anillo posee un perímetro de su circunferencia dado por:
según la conocida fórmula geométrica. Ahora bien, cada anillo, al tener un espesor infinitesimal, posee también un área infinitesimal. Podemos expresar dicha área si pensamos que los delgados anillos pueden extenderse como una cinta, de modo que nos quedaría un rectángulo como el que sigue:
De este modo, podemos expresar el área diferencial de cada anillo, dA, del modo siguiente:
Podemos calcular el área total del círculo de radio R si sumamos en forma continua las contribuciones de todos los anillos de radio r entre 0 y R. Esta adición la podemos llevar a cabo por medio de integración:
Luego, resolviendo la integral, podemos llegar al valor buscado:
La última expresión coincide con la conocida fórmula del área de un círculo.
A continuación vamos a estudiar otro ejemplo, esta vez concerniente a cálculo de volumen de un sólido, para el cual utilizaremos la fórmula de área de un círculo ya deducida.
Consideremos un cono de altura L y radio basal R, ambos conocidos. Por supuesto, asumiremos que no conocemos la fórmula para obtener su volumen directamente en función de estas medidas. Para ello, consideraremos que el cono puede ser subdividido en platos circulares de espesor infinitesimal, cuyo radio es pequeño al estar cerca de la cúspide del cono, y va creciendo al alejarse de él hasta lograr el tamaño de la base al alcanzar esta última. Ver el diagrama siguiente:
Llamaremos x a la variable que representa la distancia desde el plato hasta la cúspide, de modo que el espesor infinitesimal del mismo queda definido por dx. Identificaremos también con la variable r al radio de dicho plato. Es claro que tanto x como r dependerán de la ubicación de cada plato a lo largo de la integración, la cual podremos llevar a cabo sólo respecto de una de ellas; por lo tanto, el primer paso será expresar r en función de x, para así integrar posteriormente sólo respecto de x.
Las variables r y x definen un cono de la misma forma que R y L, sólo que más pequeño; por lo tanto, se encuentran en la misma proporción. De este modo, podemos escribir:
con lo cual se logra expresar r en función de x.
Acto seguido, estableceremos el volumen infinitesimal de los platos que luego de integrarán. Éstos se pueden considerar como cilindros achatados, con un círculo de radio r como base y altura dx. Por lo tanto, el volumen infinitesimal corresponde a:
Luego, remplazando r por la expresión anterior, con el fin de sólo dejar dependencia de la variable x, resulta:
Ahora bien, para calcular el volumen total del cono se debe integrar la expresión anterior, considerando una variación de x desde 0 hasta L para componer el cono por completo:
Luego, resolviendo la integral:
podemos llegar al resultado final:
que corresponde exactamente a la conocida expresión para calcular el volumen de un cono.
Con esto concluye el presente artículo, así como la preparación matemática necesaria para comenzar a tratar temas de Física.
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