Matemáticas Básicas
Para la Física, así como para muchas otras ramas de la Ciencia y Tecnología, las Matemáticas son una herramienta fundamental para entender y aplicar su teoría. En el presente artículo, se estudiarán brevemente algunos conceptos matemáticos básicos que serán de utilidad para entender los artículos matemáticos siguientes.
El número "pi" y la circunferencia.
Una Circunferencia es una figura geométrica plana, compuesta por todos los puntos que equidistan de otro punto fijo. A dicho punto se le denomina Centro. A la distancia constante entre cualquier punto de la circunferencia y su centro se le denomina Radio.
A cualquier línea que conecte dos puntos de la circunferencia y que además pase por su centro, se le denomina Diámetro. De esto, resulta evidente que, para cualquier circunferencia, un diámetro mide el doble de su radio. La siguiente imagen muestra un ejemplo de diámetro de una circunferencia:
La Longitud o Perímetro de una circunferencia corresponde a la medida del largo total de los puntos que la componen. Podría estimarse fácilmente dicha longitud si copiamos la forma de la circunferencia con un hilo, y luego la estiramos y la medimos con una regla.
Es posible demostrar que, sin importar el tamaño de la circunferencia, la proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es siempre la misma. De este modo, de la división de ambas cantidades resulta un número muy importante en Matemáticas y Ciencias denominado con la letra griega "pi". Si denominamos C a la longitud de una circunferencia y D a su diámetro, podemos escribir:
Matemáticamente, "pi" posee un número infinito de cifras decimales, cifras que no exhiben regularidad alguna. En la práctica, aproximaciones de "pi" tales como 3,14 ó 3,1416 suelen ser suficientes.
La aplicación más directa de este número se relaciona con el cálculo de la longitud de una circunferencia dado su diámetro o radio. Éste se obtiene multiplicando "pi" por dicho diámetro, o por el doble del radio (sea R este último):
Este número es también útil para calcular el área encerrada por una circunferencia. Es posible demostrar que dicha área (llamémosla A) corresponde a "pi" multiplicado por el cuadrado del radio, o por la cuarta parte del cuadrado del diámetro:
A cualquier línea que conecte dos puntos de la circunferencia y que además pase por su centro, se le denomina Diámetro. De esto, resulta evidente que, para cualquier circunferencia, un diámetro mide el doble de su radio. La siguiente imagen muestra un ejemplo de diámetro de una circunferencia:
La Longitud o Perímetro de una circunferencia corresponde a la medida del largo total de los puntos que la componen. Podría estimarse fácilmente dicha longitud si copiamos la forma de la circunferencia con un hilo, y luego la estiramos y la medimos con una regla.
Es posible demostrar que, sin importar el tamaño de la circunferencia, la proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es siempre la misma. De este modo, de la división de ambas cantidades resulta un número muy importante en Matemáticas y Ciencias denominado con la letra griega "pi". Si denominamos C a la longitud de una circunferencia y D a su diámetro, podemos escribir:
Matemáticamente, "pi" posee un número infinito de cifras decimales, cifras que no exhiben regularidad alguna. En la práctica, aproximaciones de "pi" tales como 3,14 ó 3,1416 suelen ser suficientes.
La aplicación más directa de este número se relaciona con el cálculo de la longitud de una circunferencia dado su diámetro o radio. Éste se obtiene multiplicando "pi" por dicho diámetro, o por el doble del radio (sea R este último):
Este número es también útil para calcular el área encerrada por una circunferencia. Es posible demostrar que dicha área (llamémosla A) corresponde a "pi" multiplicado por el cuadrado del radio, o por la cuarta parte del cuadrado del diámetro:
Ángulos y sus Unidades de Medida
Un ángulo se define como el grado de abertura entre dos semirrectas. La figura siguiente muestra un ejemplo, en donde el pequeño arco de círculo identifica la abertura de interés:
La medida de un ángulo será mayor mientras más se abran las semirrectas entre sí. En el límite mayor, se origina lo que se denomina un ángulo completo, en el cual una de las semirrectas da una vuelta completa hasta coincidir con la otra. La figura siguiente muestra lo anterior:
En base al ángulo completo, se definen las unidades de medida de ángulos. La unidad de medida más usual y conocida es el grado sexagesimal, para el cual el ángulo completo corresponde a 360°. De este modo, el ángulo de la primera imagen podría corresponder a, digamos, unos 40°.
No obstante lo anterior, la unidad de medida de ángulo más relevante en Matemáticas y Física no es tan conocida, y se le denomina Radián. Un radián se define como la medida de un ángulo que, considerado entre dos radios de una circunferencia, comprende un arco de círculo de longitud igual a dicho radio. Lo anterior se puede observar en la siguiente imagen:
La medida de dicho ángulo en grados sexagesimales, se puede aproximar como 57,3°:
Al relacionar esta nueva unidad de medida con el ángulo completo anteriormente expuesto, se puede demostrar que corrresponde a 2 "pi" radianes:
La aplicación más directa de los ángulos medidos en radianes, es que permiten calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia comprendido en un ángulo entre radios. Al respecto, consideremos la siguiente figura:
Si, según ésta, llamamos r al radio, s a la longitud de arco, y con la letra griega "theta" denominamos al ángulo medido en radianes, entonces s puede calcularse fácilmente a partir del producto entre r y "theta":
También es posible demostrar que el área comprendida entre los radios y la porción de circunferencia, puede calcularse a partir de la siguiente expresión (siempre con el ángulo en radianes):
Si en ambas expresiones anteriores se remplaza el ángulo por 2 "pi" radianes, se puede regresar a las expresiones de perímetro de la circunferencia y área del círculo, respectivamente.
La medida de un ángulo será mayor mientras más se abran las semirrectas entre sí. En el límite mayor, se origina lo que se denomina un ángulo completo, en el cual una de las semirrectas da una vuelta completa hasta coincidir con la otra. La figura siguiente muestra lo anterior:
En base al ángulo completo, se definen las unidades de medida de ángulos. La unidad de medida más usual y conocida es el grado sexagesimal, para el cual el ángulo completo corresponde a 360°. De este modo, el ángulo de la primera imagen podría corresponder a, digamos, unos 40°.
No obstante lo anterior, la unidad de medida de ángulo más relevante en Matemáticas y Física no es tan conocida, y se le denomina Radián. Un radián se define como la medida de un ángulo que, considerado entre dos radios de una circunferencia, comprende un arco de círculo de longitud igual a dicho radio. Lo anterior se puede observar en la siguiente imagen:
La medida de dicho ángulo en grados sexagesimales, se puede aproximar como 57,3°:
Al relacionar esta nueva unidad de medida con el ángulo completo anteriormente expuesto, se puede demostrar que corrresponde a 2 "pi" radianes:
La aplicación más directa de los ángulos medidos en radianes, es que permiten calcular fácilmente la longitud de un arco de circunferencia comprendido en un ángulo entre radios. Al respecto, consideremos la siguiente figura:
Si, según ésta, llamamos r al radio, s a la longitud de arco, y con la letra griega "theta" denominamos al ángulo medido en radianes, entonces s puede calcularse fácilmente a partir del producto entre r y "theta":
También es posible demostrar que el área comprendida entre los radios y la porción de circunferencia, puede calcularse a partir de la siguiente expresión (siempre con el ángulo en radianes):
Si en ambas expresiones anteriores se remplaza el ángulo por 2 "pi" radianes, se puede regresar a las expresiones de perímetro de la circunferencia y área del círculo, respectivamente.
Trigonometría Básica
Comenzaremos definiendo qué es un triángulo rectángulo. Éste es simplemente aquél que posee un ángulo recto (de 90°).
Ahora bien, consideremos el triángulo rectángulo que se muestra a continuación, en el cual se destaca un ángulo "alfa" (el cual será menor a 90° para cualquier triángulo de este tipo):
A los lados del ángulo recto se les denomina catetos, al lado restante se le denomina hipotenusa (h). Al cateto que corresponde a uno de los lados del ángulo de interés se le denomina adyacente (b), mientras que al cateto restante se le denomina opuesto (a).
Una de las relaciones más relevantes que cumplen las medidas de los 3 lados de un triángulo rectángulo es el Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
A continuación, definiremos algunas Funciones Trigonométricas más relevantes. Éstas son operaciones matemáticas que utilizan como valor de entrada un ángulo de un triángulo rectángulo ("alfa", en la figura anterior), y cuyo resultado corresponde a alguna proporción entre los lados de dicho triángulo. Se definen entonces las funciones seno, coseno y tangente del ángulo "alfa" como las siguientes:
Estos valores son los mismos para cualquier tamaño del triángulo; por ende, sólo dependen del valor del ángulo.
A continuación, se muestran los valores de estas funciones para algunos ángulos relevantes:
En un estudio más profundo de trigonometría, se consideran diversas propiedades de estas funciones, así como su aplicabilidad para resolver problemas de medidas de triángulos y otras figuras geométricas. De todos modos, a continuación se citan las 2 propiedades más relevantes de estas funciones:
Las consideraciones anteriores sólo permiten definir estas funciones cuando el ángulo se encuentra entre 0 y 90°. Es posible extender su dominio para cualquier medida de ángulo al considerar lo que se denomina circunferencia unitaria.
La circunferencia unitaria es simplemente aquélla que está centrada en el origen de un sistema coordenado, y cuyo radio mide 1. Ésta se muestra a continuación:
En esta circunferencia, los ángulos (simbolizado por la letra griega "theta" en la figura) se miden entre el radio que queda en el lado positivo del eje x (el que pasa por el punto A(1,0) ) y otro radio cualquiera (el que define el punto (x,y) en la figura). Además, los ángulos se definen positivos si se miden en sentido antihorario respecto del radio del punto (1,0), y se definen negativos en caso contrario. Para el caso de la figura, el ángulo mostrado es positivo.
Otro aspecto relevante de la circunferencia unitaria es que hace evidente la naturaleza periódica de los ángulos. Es decir, si al valor de un ángulo se le agrega o quita un ángulo completo (360°), resultará el mismo punto (x,y). Por ejemplo, un ángulo de 90° es equivalente a uno de 450°, y equivalente a su vez a uno de -270°.
Gracias a esta circunferencia, es posible definir las tres funciones trigonométricas antes mencionadas para cualquier valor del ángulo "theta" del siguiente modo, considerando el punto (x,y) como el definido por dicho ángulo:
De este modo, es posible representar las tres funciones trigonométricas en ejes coordenados, representando el ángulo en el eje horizontal (en radianes, de acuerdo a la práctica usual), según se muestra en la siguiente imagen (la función seno se muestra en azul; la función coseno, en rojo; y la función tangente, en fucsia):
A continuación, se destacan algunos aspectos de las mismas:
Dada la forma de "onda" de las funciones seno y coseno, se utilizan a menudo para describir fenómenos periódicos (movimiento oscilatorio, propagación de ondas, corriente alterna, etc).
Esta función se define con la siguiente expresión:
en donde x e y son coordenadas cartesianas, y e es el número anteriormente estudiado.
Para esta función, y crece muy rápidamente al aumentar x. Además, aunque x puede tomar cualquier valor, y sólo toma valores positivos. A continuación se muestra su gráfica:
Esta función aparece frecuentemente en procesos físicos, tales como el movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso, o el enfriamiento de un cuerpo al exponerlo a la atmósfera.
Regresando un poco al concepto de logaritmo, existe un tipo especial de ellos denominado Logaritmo Natural o Neperiano.
Un logaritmo natural es simplemente aquél que considera como base al número "e". Se simboliza simplemente con las letras "ln", omitiendo la base:
De forma similar a la función exponencial, también es posible definir la Función Logaritmo Natural:
la cual resulta ser justamente la inversa de la función exponencial. Ésta aparece también en algunos procesos físicos, tales como el trabajo efectuado por un gas ideal en un proceso a temperatura constante.
Ahora bien, consideremos el triángulo rectángulo que se muestra a continuación, en el cual se destaca un ángulo "alfa" (el cual será menor a 90° para cualquier triángulo de este tipo):
A los lados del ángulo recto se les denomina catetos, al lado restante se le denomina hipotenusa (h). Al cateto que corresponde a uno de los lados del ángulo de interés se le denomina adyacente (b), mientras que al cateto restante se le denomina opuesto (a).
Una de las relaciones más relevantes que cumplen las medidas de los 3 lados de un triángulo rectángulo es el Teorema de Pitágoras: la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:
A continuación, definiremos algunas Funciones Trigonométricas más relevantes. Éstas son operaciones matemáticas que utilizan como valor de entrada un ángulo de un triángulo rectángulo ("alfa", en la figura anterior), y cuyo resultado corresponde a alguna proporción entre los lados de dicho triángulo. Se definen entonces las funciones seno, coseno y tangente del ángulo "alfa" como las siguientes:
Estos valores son los mismos para cualquier tamaño del triángulo; por ende, sólo dependen del valor del ángulo.
A continuación, se muestran los valores de estas funciones para algunos ángulos relevantes:
En un estudio más profundo de trigonometría, se consideran diversas propiedades de estas funciones, así como su aplicabilidad para resolver problemas de medidas de triángulos y otras figuras geométricas. De todos modos, a continuación se citan las 2 propiedades más relevantes de estas funciones:
- El cuadrado del seno de un ángulo más el cuadrado de su coseno, es siempre igual a 1.
- El cuociente entre el seno y el coseno de un ángulo es igual a la tangente del mismo.
Las consideraciones anteriores sólo permiten definir estas funciones cuando el ángulo se encuentra entre 0 y 90°. Es posible extender su dominio para cualquier medida de ángulo al considerar lo que se denomina circunferencia unitaria.
La circunferencia unitaria es simplemente aquélla que está centrada en el origen de un sistema coordenado, y cuyo radio mide 1. Ésta se muestra a continuación:
En esta circunferencia, los ángulos (simbolizado por la letra griega "theta" en la figura) se miden entre el radio que queda en el lado positivo del eje x (el que pasa por el punto A(1,0) ) y otro radio cualquiera (el que define el punto (x,y) en la figura). Además, los ángulos se definen positivos si se miden en sentido antihorario respecto del radio del punto (1,0), y se definen negativos en caso contrario. Para el caso de la figura, el ángulo mostrado es positivo.
Otro aspecto relevante de la circunferencia unitaria es que hace evidente la naturaleza periódica de los ángulos. Es decir, si al valor de un ángulo se le agrega o quita un ángulo completo (360°), resultará el mismo punto (x,y). Por ejemplo, un ángulo de 90° es equivalente a uno de 450°, y equivalente a su vez a uno de -270°.
Gracias a esta circunferencia, es posible definir las tres funciones trigonométricas antes mencionadas para cualquier valor del ángulo "theta" del siguiente modo, considerando el punto (x,y) como el definido por dicho ángulo:
De este modo, es posible representar las tres funciones trigonométricas en ejes coordenados, representando el ángulo en el eje horizontal (en radianes, de acuerdo a la práctica usual), según se muestra en la siguiente imagen (la función seno se muestra en azul; la función coseno, en rojo; y la función tangente, en fucsia):
A continuación, se destacan algunos aspectos de las mismas:
- Los valores de las funciones seno y coseno siempre se encuentran entre -1 y 1.
- La función tangente puede entregar cualquier valor (no está limitada a un intervalo, como las otras dos).
- Las funciones seno y coseno son periódicas, con periodo 2 "pi" rad ó 360° (es decir, los valores se repiten en cada vuelta en la circunferencia unitaria).
- La función tangente es periódica, con periodo "pi" rad ó 180° (es decir, los valores se repiten en cada media vuelta en la circunferencia unitaria).
- Para los ángulos en que el coseno se anula, la tangente no está definida. Esto ocurre cuando el ángulo vale "pi" rad (90°), repitiéndose según la periodicidad de dicha función.
Dada la forma de "onda" de las funciones seno y coseno, se utilizan a menudo para describir fenómenos periódicos (movimiento oscilatorio, propagación de ondas, corriente alterna, etc).
Potencias
A pesar de que éste es un tópico simple, se repasará para llegar a entender con claridad los apartados siguientes de este artículo.
Las potencias constituyen la operación matemática que permite abreviar una multiplicación. Si quisiéramos multiplicar un número a por sí mismo b veces, entonces:
en donde a a se le denomina base; y a b, exponente.
Por ejemplo, multiplicar 5 por sí mismo 3 veces, resulta 125. Esto se representa como sigue:
Algunas de las propiedades de las potencias más relevantes, son las siguientes:
Las potencias constituyen la operación matemática que permite abreviar una multiplicación. Si quisiéramos multiplicar un número a por sí mismo b veces, entonces:
en donde a a se le denomina base; y a b, exponente.
Por ejemplo, multiplicar 5 por sí mismo 3 veces, resulta 125. Esto se representa como sigue:
Algunas de las propiedades de las potencias más relevantes, son las siguientes:
- Para multiplicar (dividir) potencias de la misma base, se mantiene la base y se suman (restan) los exponentes.
- Para multiplicar (dividir) potencias de un mismo exponente, se mantiene el exponente y se multiplican (dividen) las bases.
- Cualquier número distinto de cero elevado a exponente cero, es uno.
- Para elevar una base a un número negativo, se deja como base el inverso multiplicativo de la anterior, y se le cambia el signo al exponente original.
- Para elevar una potencia a otra potencia, simplemente se multiplican los exponentes.
Radicación
Regresando al ejemplo inicial de potencia, supongamos que una base a elevada a un exponente b da como resultado un valor c:
Supongamos ahora que desconocemos el valor de a, pero que conocemos los valores de b y c. ¿Cómo podemos encontrar el valor de a a partir de los otros dos? La respuesta es la operación de radicación o extracción de raíz, la cual se simboliza como sigue:
En esta operación, a c se le denomina radicando, mientras que a b se le denomina índice de la raíz.
Un ejemplo es encontrar la raíz de índice 3 de 8, para lo cual se debe buscar un número que, multiplicado 3 veces por sí mismo entregue dicho valor. En este caso, la respuesta es 2, por lo tanto:
Por convención, cuando el índice es 2, se omite. Por ejemplo:
Una propiedad relevante que relaciona a las potencias con las raíces es la siguiente: extraer la raíz de cierto índice a un número, equivale a elevar dicho número a un exponente igual al inverso multiplicativo del índice. Algebraicamente:
De este modo, las mismas propiedades expuestas anteriormente para las potencias, aplican también para las raíces teniendo en cuenta esta consideración.
Supongamos ahora que desconocemos el valor de a, pero que conocemos los valores de b y c. ¿Cómo podemos encontrar el valor de a a partir de los otros dos? La respuesta es la operación de radicación o extracción de raíz, la cual se simboliza como sigue:
En esta operación, a c se le denomina radicando, mientras que a b se le denomina índice de la raíz.
Un ejemplo es encontrar la raíz de índice 3 de 8, para lo cual se debe buscar un número que, multiplicado 3 veces por sí mismo entregue dicho valor. En este caso, la respuesta es 2, por lo tanto:
Por convención, cuando el índice es 2, se omite. Por ejemplo:
Una propiedad relevante que relaciona a las potencias con las raíces es la siguiente: extraer la raíz de cierto índice a un número, equivale a elevar dicho número a un exponente igual al inverso multiplicativo del índice. Algebraicamente:
De este modo, las mismas propiedades expuestas anteriormente para las potencias, aplican también para las raíces teniendo en cuenta esta consideración.
Logaritmos
Regresando nuevamente al ejemplo inicial de potencia:
plantearemos ahora la siguiente interrogante: si conocemos a y c, ¿qué operación nos permitirá encontrar el valor de b a partir de los otros dos? La respuesta es el Logaritmo., lo cual posee la siguiente notación:
Lo anterior se lee: el logaritmo de c en base a es igual a b.
Por ejemplo, para encontrar el logaritmo de 64 en base 4, debemos pensar en cuántas veces debe multiplicarse 4 por sí mismo para dar 64 como resultado. La respuesta es 3, por lo tanto:
Una convención relevante de lo logaritmos es que, cuando la base es 10, ésta se omite. Entonces, por ejemplo:
Algunas propiedades relevantes de los logaritmos son las siguientes:
En matemáticas, existe un número especial con una importancia similar al número "pi": se le denomina "e".
plantearemos ahora la siguiente interrogante: si conocemos a y c, ¿qué operación nos permitirá encontrar el valor de b a partir de los otros dos? La respuesta es el Logaritmo., lo cual posee la siguiente notación:
Lo anterior se lee: el logaritmo de c en base a es igual a b.
Por ejemplo, para encontrar el logaritmo de 64 en base 4, debemos pensar en cuántas veces debe multiplicarse 4 por sí mismo para dar 64 como resultado. La respuesta es 3, por lo tanto:
Una convención relevante de lo logaritmos es que, cuando la base es 10, ésta se omite. Entonces, por ejemplo:
Algunas propiedades relevantes de los logaritmos son las siguientes:
- El logaritmo de un producto (cuociente) es igual a la suma (diferencia) de los factores (dividendo y divisor).
- El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
- La división de dos logaritmos con la misma base, resulta en el logaritmo del argumento del primero en base del argumento del segundo.
El número e
Los dos modos más usuales de definir este número son los siguientes:
- El valor límite al cual tiende la siguiente expresión, cuando x se vuelve infinitamente grande:
- El valor al cual tiende la siguiente sumatoria infinita:
Al igual que el número "pi", este número posee un número infinito de cifras decimales que no se repiten regularmente. En la práctica, este número posee el siguiente valor aproximado:
Este número será considerado en los apartados siguientes de este artículo.
La Función Exponencial
en donde x e y son coordenadas cartesianas, y e es el número anteriormente estudiado.
Para esta función, y crece muy rápidamente al aumentar x. Además, aunque x puede tomar cualquier valor, y sólo toma valores positivos. A continuación se muestra su gráfica:
Esta función aparece frecuentemente en procesos físicos, tales como el movimiento de un cuerpo en un fluido viscoso, o el enfriamiento de un cuerpo al exponerlo a la atmósfera.
El Logaritmo Natural
Un logaritmo natural es simplemente aquél que considera como base al número "e". Se simboliza simplemente con las letras "ln", omitiendo la base:
De forma similar a la función exponencial, también es posible definir la Función Logaritmo Natural:
la cual resulta ser justamente la inversa de la función exponencial. Ésta aparece también en algunos procesos físicos, tales como el trabajo efectuado por un gas ideal en un proceso a temperatura constante.
No hay comentarios:
Publicar un comentario