Cálculo Diferencial en Una Variable
El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que estudia las razones de cambio instantáneas de una variable que depende de otra. Posee variadas y repetidas aplicaciones en matemáticas, ciencias y tecnología, entre las cuales la Física no es la excepción.
En general, esta materia se trata en cursos de Matemática, en donde tiende a ser descrita con bastante rigurosidad analítica. En el presente artículo, pretendo abordar el tema desde un punto de vista más práctico y conceptual, con el fin de centrarse en los aspectos que serán más útiles al introducirse al estudio de la Física.
Antes del estudiar directamente el cálculo diferencial, se tratarán un par de temas previos necesarios para entenderlo, tales como Funciones, Funciones Lineales, Cálculo de Pendientes y Rapidez de Cambio.
Introducción: Funciones
En general, en muchas ramas de las ciencias se encuentra que una variable o magnitud varía en dependencia de otra (o en dependencia de más de una, lo cual está fuera del alcance de este artículo). En términos simples, esto es lo que se conoce como Función: la dependencia de una variable respecto de otra. A la variable cuya variación depende de la otra se le denomina Variable Dependiente, mientras que a la otra se le conoce como Variable Independiente.
Si por ejemplo tomamos a y como una variable dependiente y a x como una variable independiente, la relación puede representarse genéricamente del siguiente modo:
Una función específica puede ser representada por medio de una curva en un plano cartesiano, en donde, por lo general, se considera a la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical. Ver imagen siguiente.
Dicha curva se construye considerando todos los valores de x para los cuales la función está definida, luego generando los valores de y asociados a cada uno de esos valores, y finalmente graficando todos los puntos ( pares (x,y) ) que corresponda. La imagen anterior muestra un punto específico, correspondiente a un valor xo para el cual la función arroja un valor yo.
Una condición necesaria para que una función sea tal, es que para cada valor de la variable independiente corresponda un y sólo un valor de la variable dependiente. En términos prácticos, esto significa que cualquier línea vertical que se trace en el gráfico de una función debe intersectar a su curva como máximo en un punto. La imagen siguiente ilustra lo anterior.
Ahora bien, esta condición al revés no es un problema, es decir, una función puede tener valores de la variable dependiente repetidos para distintos valores de la variable independiente. Si en la imagen anterior de la izquierda trazáramos líneas horizontales, intersectaría a la curva en varios puntos; esto no es problema para que sea una función.
En muchas ocasiones, las funciones pueden expresarse en forma analítica, es decir, explicitando la ecuación matemática que tiene por parámetro a la variable independiente, y cuyo resultado arroja la variable dependiente que le corresponde. Un ejemplo podría ser el siguiente:
la cual puede graficarse en un plano cartesiano. Ahora bien, si en esta ecuación asignamos un valor específico a x (por ejemplo x = 3) podemos obtener el valor de y que le corresponde (en este caso, y = 14). Lo anterior puede representarse del siguiente modo:
Con el fin de ir asociando estos conocimientos con procesos físicos, consideremos el ejemplo de un vehículo recorriendo una carretera recta con velocidad variable. Definiendo un punto de la carretera como "posición cero" y una cierta hora el "tiempo cero", el vehículo poseerá distintas posiciones para distintos tiempos. Esto se puede apreciar en la figura siguiente.
En este caso, la posición del automóvil (que podemos denotar por x) es una función del tiempo (que podemos denotar por t). Si contáramos con la información completa del movimiento, podríamos representar dicha función en un gráfico x v/s t. La imagen siguiente muestra un ejemplo.
En estos ejemplos se puede observar la relevancia de que dicha relación cumpla con la definición de función: para cada instante de tiempo existe sólo una posición para el automóvil (dado que es imposible que se encuentre en 2 o más lugares distintos al mismo tiempo). Sin embargo, no hay problema en que la misma posición se repita para instantes de tiempo distintos (por ejemplo, a los 80 m desde el origen de la imagen anterior).
Si por ejemplo tomamos a y como una variable dependiente y a x como una variable independiente, la relación puede representarse genéricamente del siguiente modo:
Una función específica puede ser representada por medio de una curva en un plano cartesiano, en donde, por lo general, se considera a la variable independiente en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical. Ver imagen siguiente.
Dicha curva se construye considerando todos los valores de x para los cuales la función está definida, luego generando los valores de y asociados a cada uno de esos valores, y finalmente graficando todos los puntos ( pares (x,y) ) que corresponda. La imagen anterior muestra un punto específico, correspondiente a un valor xo para el cual la función arroja un valor yo.
Una condición necesaria para que una función sea tal, es que para cada valor de la variable independiente corresponda un y sólo un valor de la variable dependiente. En términos prácticos, esto significa que cualquier línea vertical que se trace en el gráfico de una función debe intersectar a su curva como máximo en un punto. La imagen siguiente ilustra lo anterior.
Ahora bien, esta condición al revés no es un problema, es decir, una función puede tener valores de la variable dependiente repetidos para distintos valores de la variable independiente. Si en la imagen anterior de la izquierda trazáramos líneas horizontales, intersectaría a la curva en varios puntos; esto no es problema para que sea una función.
En muchas ocasiones, las funciones pueden expresarse en forma analítica, es decir, explicitando la ecuación matemática que tiene por parámetro a la variable independiente, y cuyo resultado arroja la variable dependiente que le corresponde. Un ejemplo podría ser el siguiente:
la cual puede graficarse en un plano cartesiano. Ahora bien, si en esta ecuación asignamos un valor específico a x (por ejemplo x = 3) podemos obtener el valor de y que le corresponde (en este caso, y = 14). Lo anterior puede representarse del siguiente modo:
Con el fin de ir asociando estos conocimientos con procesos físicos, consideremos el ejemplo de un vehículo recorriendo una carretera recta con velocidad variable. Definiendo un punto de la carretera como "posición cero" y una cierta hora el "tiempo cero", el vehículo poseerá distintas posiciones para distintos tiempos. Esto se puede apreciar en la figura siguiente.
En este caso, la posición del automóvil (que podemos denotar por x) es una función del tiempo (que podemos denotar por t). Si contáramos con la información completa del movimiento, podríamos representar dicha función en un gráfico x v/s t. La imagen siguiente muestra un ejemplo.
En estos ejemplos se puede observar la relevancia de que dicha relación cumpla con la definición de función: para cada instante de tiempo existe sólo una posición para el automóvil (dado que es imposible que se encuentre en 2 o más lugares distintos al mismo tiempo). Sin embargo, no hay problema en que la misma posición se repita para instantes de tiempo distintos (por ejemplo, a los 80 m desde el origen de la imagen anterior).
Introducción: Funciones Lineales
Existe un tipo especial de funciones denominadas Funciones Lineales. Éstas se definen simplemente como una función cuya curva en una gráfica es una línea recta.
A continuación se muestra una imagen de ejemplo, y su correspondiente expresión analítica:
en donde m y n son números fijos, asociados a una función lineal en particular.
Al parámetro n se le denomina intercepto, dado que corresponde al punto en el eje y en donde la recta intersecta a dicho eje; por lo tanto, es un parámetro que determina la posición de la recta en el gráfico. Esto puede apreciarse fácilmente al notar en la ecuación anterior que cuando x = 0, entonces y = n; debido a lo cual la recta para por el punto (0,n). Si n es positivo, la intersección con el eje y se encontrará por arriba del eje x; si es negativo, se encontrará bajo este último; y si es cero, la recta pasará exactamente por la intersección de los ejes coordinados.
Por otro lado, al parámetro m se le denomina pendiente. Éste determina la inclinación de la recta en el gráfico. Más específicamente, la pendiente de una recta indica en cuántas unidades cambia la variable y por cada unidad de cambio de la variable x. Por ejemplo, si la pendiente de una recta es 3, esto significa que y aumenta 3 unidades por cada unidad que aumenta x. Cabe destacar que mientas mayor sea el valor de la pendiente, más "vertical" será la recta graficada.
El signo de la pendiente indica si x e y varían en el mismo sentido o no a lo largo de la recta: si la pendiente es positiva, y aumenta cuando x aumenta (se trata de una función creciente); y si es negativa, y disminuye cuando x aumenta (se trata de una función decreciente). En el caso particular en que la pendiente sea cero, la ecuación de la recta se transforma simplemente en la expresión y = n, dejando de depender de x en forma explícita; en tal caso, y se mantiene constante (en un valor igual al intercepto) ante variaciones de x, quedando como una recta horizontal. La imagen siguiente ilustra lo anterior.
Regresando al ejemplo del vehículo en carretera recta, una relación lineal entre la posición (x) y el tiempo (t) para este móvil corresponde a lo que se denomina Movimiento Rectilíneo Uniforme. Es posible expresarlo analíticamente del siguiente modo:
ecuación que posee la misma estructura que la de la función lineal antes estudiada. El parámetro x0, que puede asociarse al intercepto de la recta al graficar la función, corresponde a la posición inicial del móvil, es decir, su localización (respecto de la "posición cero" en la carretera) en el instante t = 0. Por otro lado, el parámetro v, que puede asociarse a la pendiente de la recta, corresponde a la rapidez del móvil, es decir, cuánta distancia recorre por cada unidad de tiempo (cantidad que no cambia). El signo de v indica hacia dónde se desplaza el móvil: si v es positivo, avanza en el sentido del eje x; si es negativo, se mueve en sentido contrario a dicho eje; y si v es cero, entonces el móvil se mantiene en reposo en el punto inicial.
Por ejemplo, se puede considerar el gráfico de la siguiente imagen:
La ecuación de movimiento asociada sería la siguiente:
con la posición en metros y el tiempo en segundos.
En este caso, en tiempo cero, el móvil se encuentra en la posición a 2 metros más adelante de la posición cero. La rapidez corresponde a +1 m/s, de modo que el móvil avanza 1 metro por cada segundo de tiempo adicional.
A continuación se muestra una imagen de ejemplo, y su correspondiente expresión analítica:
en donde m y n son números fijos, asociados a una función lineal en particular.
Al parámetro n se le denomina intercepto, dado que corresponde al punto en el eje y en donde la recta intersecta a dicho eje; por lo tanto, es un parámetro que determina la posición de la recta en el gráfico. Esto puede apreciarse fácilmente al notar en la ecuación anterior que cuando x = 0, entonces y = n; debido a lo cual la recta para por el punto (0,n). Si n es positivo, la intersección con el eje y se encontrará por arriba del eje x; si es negativo, se encontrará bajo este último; y si es cero, la recta pasará exactamente por la intersección de los ejes coordinados.
Por otro lado, al parámetro m se le denomina pendiente. Éste determina la inclinación de la recta en el gráfico. Más específicamente, la pendiente de una recta indica en cuántas unidades cambia la variable y por cada unidad de cambio de la variable x. Por ejemplo, si la pendiente de una recta es 3, esto significa que y aumenta 3 unidades por cada unidad que aumenta x. Cabe destacar que mientas mayor sea el valor de la pendiente, más "vertical" será la recta graficada.
El signo de la pendiente indica si x e y varían en el mismo sentido o no a lo largo de la recta: si la pendiente es positiva, y aumenta cuando x aumenta (se trata de una función creciente); y si es negativa, y disminuye cuando x aumenta (se trata de una función decreciente). En el caso particular en que la pendiente sea cero, la ecuación de la recta se transforma simplemente en la expresión y = n, dejando de depender de x en forma explícita; en tal caso, y se mantiene constante (en un valor igual al intercepto) ante variaciones de x, quedando como una recta horizontal. La imagen siguiente ilustra lo anterior.
Regresando al ejemplo del vehículo en carretera recta, una relación lineal entre la posición (x) y el tiempo (t) para este móvil corresponde a lo que se denomina Movimiento Rectilíneo Uniforme. Es posible expresarlo analíticamente del siguiente modo:
ecuación que posee la misma estructura que la de la función lineal antes estudiada. El parámetro x0, que puede asociarse al intercepto de la recta al graficar la función, corresponde a la posición inicial del móvil, es decir, su localización (respecto de la "posición cero" en la carretera) en el instante t = 0. Por otro lado, el parámetro v, que puede asociarse a la pendiente de la recta, corresponde a la rapidez del móvil, es decir, cuánta distancia recorre por cada unidad de tiempo (cantidad que no cambia). El signo de v indica hacia dónde se desplaza el móvil: si v es positivo, avanza en el sentido del eje x; si es negativo, se mueve en sentido contrario a dicho eje; y si v es cero, entonces el móvil se mantiene en reposo en el punto inicial.
Por ejemplo, se puede considerar el gráfico de la siguiente imagen:
La ecuación de movimiento asociada sería la siguiente:
con la posición en metros y el tiempo en segundos.
En este caso, en tiempo cero, el móvil se encuentra en la posición a 2 metros más adelante de la posición cero. La rapidez corresponde a +1 m/s, de modo que el móvil avanza 1 metro por cada segundo de tiempo adicional.
Introducción: Cálculo de Pendientes
La pendiente de una recta en un gráfico puede calcularse fácilmente conociendo las coordenadas de 2 puntos de la misma. Para ello, se puede considerar la imagen siguiente:
Los puntos conocidos tienen coordenadas (x1,y1) y (x2,y2). Entre un punto y otro se genera una diferencia, tanto en la variable x como en la variable y. Estas diferencias se obtienen restando las coordenadas análogas de los puntos, y se representan con un triángulo delante de la variable (letra griega delta mayúscula):
Recordando que la pendiente representa cuánto cambia la variable dependiente en relación a cambios de la independiente, se hace evidente que ésta se obtiene dividiendo ambas diferencias:
Volviendo al caso del vehículo en la carretera, y recordando el apartado anterior, se recuerda que la pendiente corresponde a la rapidez del vehículo, la cual no varía. La definición de pendiente aquí mostrada corresponde a la definición usual de rapidez de un cuerpo: distancia dividido tiempo.
Los puntos conocidos tienen coordenadas (x1,y1) y (x2,y2). Entre un punto y otro se genera una diferencia, tanto en la variable x como en la variable y. Estas diferencias se obtienen restando las coordenadas análogas de los puntos, y se representan con un triángulo delante de la variable (letra griega delta mayúscula):
Recordando que la pendiente representa cuánto cambia la variable dependiente en relación a cambios de la independiente, se hace evidente que ésta se obtiene dividiendo ambas diferencias:
Volviendo al caso del vehículo en la carretera, y recordando el apartado anterior, se recuerda que la pendiente corresponde a la rapidez del vehículo, la cual no varía. La definición de pendiente aquí mostrada corresponde a la definición usual de rapidez de un cuerpo: distancia dividido tiempo.
Introducción: Rapidez de Cambio Media e Instantánea
Consideremos la siguiente imagen, en la cual se muestra una función no lineal, dos puntos de ella, y la recta que pasa por ambos puntos.
Se define como Rapidez Media de Cambio entre los puntos P y Q de la función mostrada como la pendiente de la recta que pasa por ambos:
La rapidez media de cambio sólo depende de los puntos entre los cuales se calcule, y no de la curva específica de la función entre ambos. En definitiva, este cálculo asume una variación lineal entre los puntos, de modo que considera que la tasa de cambio de dicha función lineal es representativa de la rapidez de cambio de la función original, cualquiera que ésta sea.
Volviendo al ejemplo del vehículo, consideremos que está viajando desde una ciudad hasta otra. La rapidez de cambio media de su posición respecto del tiempo entre ambas ciudades, será simplemente la distancia total recorrida dividida por el tiempo total empleado en recorrerla. Este valor de rapidez de cambio (asociado a la rapidez del móvil, en este caso) asume como si el vehículo se desplazara a rapidez constante en toda la ruta, para entregar un valor representativa aunque el movimiento no sea rectilíneo uniforme.
El problema de rapidez de cambio media posee justamente ese problema: en el cálculo se pierde la información de la variación de la función entre ambos puntos. Para el ejemplo del vehículo, sabemos que en la práctica la rapidez del móvil no será uniforme. Esto lo podremos notar al observar el velocímetro durante el viaje, el cual cambiará su indicación durante el recorrido. De hecho, sería posible asociar lecturas del velocímetro para distintos instantes de tiempo (en vez de intervalos, como la rapidez media). De aquí nace el concepto de Rapidez de Cambio Instantánea.
La Rapidez de Cambio Instantánea corresponde a la tasa de variación de la variable dependiente respecto de la independiente, para un punto en particular de la función asociada. Para introducir cómo se calcula, comenzaremos por un enfoque geométrico, que es más simple e intuitivo.
En virtud de lo anterior, consideremos la imagen siguiente:
En ésta, se muestra una función no lineal, sobre la cual se definen intervalos entre puntos cada vez más pequeños con un punto inicial común (partiendo desde el intervalo más grande, P-Q1, hasta el más pequeño P-Q4). Entre cada par de puntos, se trazan las rectas cuyas pendientes representan las rapideces de cambio media en cada caso.
En principio, la rapidez de cambio instantánea puede aproximarse como una rapidez de cambio media entre puntos muy cercanos, de modo que la variación real de la función en dicho intervalo sea casi lineal, y así la rapidez de cambio media se vuelva una buena aproximación de la instantánea. Así, regresando a la imagen, podemos notar que cuanto más que acerca el punto Q al punto P, más se acerca la rapidez media a la rapidez instantánea.
Finalmente, es posible lograr que el punto Q se acerque aún más a P, de modo que en definitiva ambos puntos coincidan y el intervalo colapse en sólo un punto. En tal caso, la rectas anteriores se convierten en una que pasa sólo por el punto P, sin tocar a la curva en ningún otro: es lo que se denomina Recta Tangente. La pendiente de la recta tangente corresponde en forma exacta a la Rapidez de Cambio Instantánea de la función en dicho punto, la cual depende completamente de ambos parámetros: la función y el punto. Para el ejemplo del vehículo en la carretera, si registráramos su posición en función del tiempo en un gráfico, podríamos deducir las lecturas del velocímetro en cualquier instante de tiempo a través de su rapidez de cambio instantánea.
Existe una herramienta analítica para calcular la rapidez de cambio instantánea de una función: la derivada. Ésta es el objeto de estudio principal del cálculo diferencial, de modo que se tratará a continuación.
Se define como Rapidez Media de Cambio entre los puntos P y Q de la función mostrada como la pendiente de la recta que pasa por ambos:
La rapidez media de cambio sólo depende de los puntos entre los cuales se calcule, y no de la curva específica de la función entre ambos. En definitiva, este cálculo asume una variación lineal entre los puntos, de modo que considera que la tasa de cambio de dicha función lineal es representativa de la rapidez de cambio de la función original, cualquiera que ésta sea.
Volviendo al ejemplo del vehículo, consideremos que está viajando desde una ciudad hasta otra. La rapidez de cambio media de su posición respecto del tiempo entre ambas ciudades, será simplemente la distancia total recorrida dividida por el tiempo total empleado en recorrerla. Este valor de rapidez de cambio (asociado a la rapidez del móvil, en este caso) asume como si el vehículo se desplazara a rapidez constante en toda la ruta, para entregar un valor representativa aunque el movimiento no sea rectilíneo uniforme.
El problema de rapidez de cambio media posee justamente ese problema: en el cálculo se pierde la información de la variación de la función entre ambos puntos. Para el ejemplo del vehículo, sabemos que en la práctica la rapidez del móvil no será uniforme. Esto lo podremos notar al observar el velocímetro durante el viaje, el cual cambiará su indicación durante el recorrido. De hecho, sería posible asociar lecturas del velocímetro para distintos instantes de tiempo (en vez de intervalos, como la rapidez media). De aquí nace el concepto de Rapidez de Cambio Instantánea.
La Rapidez de Cambio Instantánea corresponde a la tasa de variación de la variable dependiente respecto de la independiente, para un punto en particular de la función asociada. Para introducir cómo se calcula, comenzaremos por un enfoque geométrico, que es más simple e intuitivo.
En virtud de lo anterior, consideremos la imagen siguiente:
En ésta, se muestra una función no lineal, sobre la cual se definen intervalos entre puntos cada vez más pequeños con un punto inicial común (partiendo desde el intervalo más grande, P-Q1, hasta el más pequeño P-Q4). Entre cada par de puntos, se trazan las rectas cuyas pendientes representan las rapideces de cambio media en cada caso.
En principio, la rapidez de cambio instantánea puede aproximarse como una rapidez de cambio media entre puntos muy cercanos, de modo que la variación real de la función en dicho intervalo sea casi lineal, y así la rapidez de cambio media se vuelva una buena aproximación de la instantánea. Así, regresando a la imagen, podemos notar que cuanto más que acerca el punto Q al punto P, más se acerca la rapidez media a la rapidez instantánea.
Finalmente, es posible lograr que el punto Q se acerque aún más a P, de modo que en definitiva ambos puntos coincidan y el intervalo colapse en sólo un punto. En tal caso, la rectas anteriores se convierten en una que pasa sólo por el punto P, sin tocar a la curva en ningún otro: es lo que se denomina Recta Tangente. La pendiente de la recta tangente corresponde en forma exacta a la Rapidez de Cambio Instantánea de la función en dicho punto, la cual depende completamente de ambos parámetros: la función y el punto. Para el ejemplo del vehículo en la carretera, si registráramos su posición en función del tiempo en un gráfico, podríamos deducir las lecturas del velocímetro en cualquier instante de tiempo a través de su rapidez de cambio instantánea.
Existe una herramienta analítica para calcular la rapidez de cambio instantánea de una función: la derivada. Ésta es el objeto de estudio principal del cálculo diferencial, de modo que se tratará a continuación.
La Derivada: el concepto principal del Cálculo Diferencial
A continuación se estudiará el concepto de derivada. Éste se abordará con un enfoque que sea de utilidad, sin profundizar demasiado en el concepto matemático.
Introduciremos el concepto de un modo similar al cual se estudió la rapidez de cambio instantánea en forma geométrica, pero considerando ahora un proceso analítico. Consideremos la imagen siguiente:
Similarmente al apartado anterior, se considera dos puntos que definen un intervalo, cuya amplitud se simboliza en esta oportunidad con el término h. La rapidez de cambio media entre los puntos corresponde a la siguiente expresión:
Según se recordará, para obtener la rapidez de cambio instantánea en x0, se debe acercar el punto asociado a x0 + h al punto x0; de este modo, se obtendrá la recta tangente en x0 cuya pendiente será la rapidez instantánea. Para ello, h debe hacerse pequeña hasta anularse; sin embargo, si hacemos directamente h = 0, la expresión anterior queda como "cero dividido cero", lo cual es matemáticamente indeterminado. Con el fin de superar este impedimento, en matemática se utiliza el concepto de límite, el cual corresponde al valor al cual aproxima una expresión cuando una variable de la misma se aproxima a otro. En el caso de interés, nos interesa el valor al cual se aproxima la expresión anterior, cuando h se aproxima a cero, lo cual puede escribirse como sigue:
A esta expresión, de la cual resulta un número, se le conoce como Derivada de la función respecto de x. evaluada en el punto x0. Puede simbolizarse de los modos que siguen:
Es posible definir también la derivada no sólo como un número, sino como una función. La Función Derivada respecto de x, corresponde a la función que resulta de la definición puntual de derivada para todos los valores de x en que sea posible calcularla:
A continuación, se considera un ejemplo de cálculo de derivada según la definición. Si la función en x fuese la siguiente:
entonces, la derivada (como función) se calcularía como sigue:
en donde, finalmente, al hacer h = 0 en la última expresión (que ya no da un resultado indeterminado), resulta:
Ahora bien, si queremos conocer la derivada de esta función para x = 3, entonces resulta:
En la práctica, las derivadas no se calculan mediante límites, debido a que es posible demostrar, a partir de la definición de derivadas, ciertas reglas que facilitan su cálculo. Algunas de las más relevantes en Física y otras ramas aplicadas son las siguientes:
A continuación, se muestra un par de ejemplos que ilustra la utilización de algunas de estas reglas:
Sea la función:
entonces su derivada será
resultando, finalmente:
Otro ejemplo, con uso de la regla de la cadena:
Esta función puede descomponerse en 2 funciones:
Entonces, aplicando la regla:
resulta, en definitiva:
Cabe destacar también que es posible calcular derivadas recursivamente; es decir, la derivada de una derivada (segunda derivada), o cuántas veces se requiera (n-ésima derivada).
La segunda, tercera y n-ésima derivadas pueden simbolizarse como sigue:
Regresando al ya conocido ejemplo del vehículo en carretera, es posible utilizar en forma directa el concepto de derivada para calcular rapideces de cambio asociadas al movimiento.
Para el caso del movimiento rectilíneo uniforme (el que considera rapidez constante del móvil), la ecuación de posición en función del tiempo es la siguiente:
La derivada de esta función permite encontrar la rapidez del móvil (rapidez de cambio instantánea de la posición) en función del tiempo:
la cual resulta ser constante e igual a v, según se esperaba.
Es posible definir también el concepto de aceleración del móvil, como la rapidez de cambio instantánea de la rapidez del móvil. Para el presente caso, ésta puede obtenerse fácilmente tomando la derivada de la última expresión:
la cual resulta ser cero (lógicamente, puesto que no existe aceleración cuando la rapidez no varía).
Existe otro tipo de movimiento, denominado Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, el cual considera una aceleración constante y, por ende, una variación lineal de la rapidez en el tiempo. Esto se estudiará con mayor detalle en artículos posteriores. Para este tipo de movimiento, la posición en función del tiempo se describe como sigue:
en donde x0 corresponde a la posición inicial, v0 a la rapidez inicial y a es la aceleración constante del móvil.
Para obtener la rapidez del móvil, derivamos respecto del tiempo:
en donde se aprecia claramente que la rapidez es una función lineal del tiempo, comenzando con rapidez v0 en el tiempo cero, y variando luego con pendiente a.
Podemos obtener la aceleración derivando nuevamente:
obteniéndose que la aceleración es constante y de valor a, como se esperaba.
Otra aplicación poderosa de la derivada es que, si tenemos variables físicas que dependan entre sí, es posible también relacionar sus respectivas rapideces de cambio. Consideremos el siguiente ejemplo: se tiene un envase con forma de cono invertido, el cual se llena con agua a un caudal constante (por ejemplo, 10 lt/min), ¿cuál será la rapidez de cambio instantánea respecto del tiempo de su nivel de llenado, para distintos niveles?
Consideremos que el recipiente cónico tiene dimensiones fijas: el radio basal, R, y su altura, H. A medida que se llena con agua, se forma un "cono de agua" de dimensiones r y h, las que varían continuamente a medida que se llena el recipiente.
Conociendo típicas fórmulas de cálculo de volúmenes, se tiene que el volumen V del "cono de agua" se puede expresar como sigue en función de r y h:
De este modo, nos damos cuenta de que dicho volumen varía, puesto que r y h lo hacen. Si embargo, dado que sólo hemos estudiado funciones en una variable, necesitamos expresar dicho en volumen en función de sólo una (no dos, como ahora). Para ello, se utilizará el hecho de que tanto el "cono de agua" como el cono recipiente tienen la misma forma, de modo que se puede expresar r en función de h como sigue:
Luego, remplazando el valor de r en la primera expresión, se obtiene V como función exclusiva de h:
Ahora bien, la expresión anterior se puede utilizar para relacionar las rapideces de cambio instantáneas de V y h respecto del tiempo. Para ello, se derivará con respecto al tiempo a ambos lados de la igualdad, y luego se despejará la rapidez de cambio de h:
en donde, para llegar al penúltimo paso, se utilizó la regla de la cadena para derivar.
Dado que se planteó en un principio que dV/dt sería constante, ésta se remplazará por, digamos, la letra Q. Entonces, resulta:
en donde todos los valores al interior de paréntesis son constantes. De este modo, se puede conocer la rapidez de cambio de la altura de llenado si se conoce la altura de llenado propiamente tal. De la expresión se deduce que, a medida que esta última aumenta, la rapidez de llenado disminuye (lo cual es lógico, dado que el envase se ensancha al recorrer su altura).
Introduciremos el concepto de un modo similar al cual se estudió la rapidez de cambio instantánea en forma geométrica, pero considerando ahora un proceso analítico. Consideremos la imagen siguiente:
Similarmente al apartado anterior, se considera dos puntos que definen un intervalo, cuya amplitud se simboliza en esta oportunidad con el término h. La rapidez de cambio media entre los puntos corresponde a la siguiente expresión:
Según se recordará, para obtener la rapidez de cambio instantánea en x0, se debe acercar el punto asociado a x0 + h al punto x0; de este modo, se obtendrá la recta tangente en x0 cuya pendiente será la rapidez instantánea. Para ello, h debe hacerse pequeña hasta anularse; sin embargo, si hacemos directamente h = 0, la expresión anterior queda como "cero dividido cero", lo cual es matemáticamente indeterminado. Con el fin de superar este impedimento, en matemática se utiliza el concepto de límite, el cual corresponde al valor al cual aproxima una expresión cuando una variable de la misma se aproxima a otro. En el caso de interés, nos interesa el valor al cual se aproxima la expresión anterior, cuando h se aproxima a cero, lo cual puede escribirse como sigue:
A esta expresión, de la cual resulta un número, se le conoce como Derivada de la función respecto de x. evaluada en el punto x0. Puede simbolizarse de los modos que siguen:
Es posible definir también la derivada no sólo como un número, sino como una función. La Función Derivada respecto de x, corresponde a la función que resulta de la definición puntual de derivada para todos los valores de x en que sea posible calcularla:
A continuación, se considera un ejemplo de cálculo de derivada según la definición. Si la función en x fuese la siguiente:
entonces, la derivada (como función) se calcularía como sigue:
en donde, finalmente, al hacer h = 0 en la última expresión (que ya no da un resultado indeterminado), resulta:
Ahora bien, si queremos conocer la derivada de esta función para x = 3, entonces resulta:
En la práctica, las derivadas no se calculan mediante límites, debido a que es posible demostrar, a partir de la definición de derivadas, ciertas reglas que facilitan su cálculo. Algunas de las más relevantes en Física y otras ramas aplicadas son las siguientes:
- La derivada de una función constante (es decir, una recta horizontal al graficarla) es cero.
- La derivada de una constante multiplicada por la variable independiente (es decir, una recta con intercepto cero) es simplemente la constante (es decir, la pendiente de la recta).
- La derivada de la suma o diferencia de 2 funciones, corresponde a la suma o diferencia de la derivada de cada función.
- La derivada de la multiplicación de 2 funciones, corresponde a la aplicación de la derivada en sólo un factor, luego a la aplicación en el otro factor, y finalmente a la suma de ambos productos.
- La derivada de la división de 2 funciones se efectúa similarmente al caso de multiplicación, pero considerando resta en vez de suma, y al final dividiendo el resultado por el cuadrado del divisor.
- La derivada de la variable independiente elevada a algún exponente, corresponde a dicha variable elevada al exponente menos 1, y luego multiplicada por dicho exponente.
- La derivada de la función exponencial (con base e = 2,718...) es igual a sí misma.
- La derivada de la función logaritmo natural de la variable independiente, es el inverso multiplicativo de dicha variable.
- La derivada de la función seno es la función coseno (con la variable independiente medida en radianes).
- La derivada de la función coseno es la función seno con signo negativo (con la variable independiente medida en radianes).
- La derivada de la función de otra función, es la derivada de la primera respecto de la segunda evaluada en la segunda, y luego multiplicada por la derivada de la segunda respecto de la variable independiente (a esto se le denomina también "Regla de la Cadena").
A continuación, se muestra un par de ejemplos que ilustra la utilización de algunas de estas reglas:
Sea la función:
entonces su derivada será
resultando, finalmente:
Otro ejemplo, con uso de la regla de la cadena:
Esta función puede descomponerse en 2 funciones:
Entonces, aplicando la regla:
resulta, en definitiva:
Cabe destacar también que es posible calcular derivadas recursivamente; es decir, la derivada de una derivada (segunda derivada), o cuántas veces se requiera (n-ésima derivada).
La segunda, tercera y n-ésima derivadas pueden simbolizarse como sigue:
Regresando al ya conocido ejemplo del vehículo en carretera, es posible utilizar en forma directa el concepto de derivada para calcular rapideces de cambio asociadas al movimiento.
Para el caso del movimiento rectilíneo uniforme (el que considera rapidez constante del móvil), la ecuación de posición en función del tiempo es la siguiente:
La derivada de esta función permite encontrar la rapidez del móvil (rapidez de cambio instantánea de la posición) en función del tiempo:
la cual resulta ser constante e igual a v, según se esperaba.
Es posible definir también el concepto de aceleración del móvil, como la rapidez de cambio instantánea de la rapidez del móvil. Para el presente caso, ésta puede obtenerse fácilmente tomando la derivada de la última expresión:
Existe otro tipo de movimiento, denominado Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, el cual considera una aceleración constante y, por ende, una variación lineal de la rapidez en el tiempo. Esto se estudiará con mayor detalle en artículos posteriores. Para este tipo de movimiento, la posición en función del tiempo se describe como sigue:
en donde x0 corresponde a la posición inicial, v0 a la rapidez inicial y a es la aceleración constante del móvil.
Para obtener la rapidez del móvil, derivamos respecto del tiempo:
en donde se aprecia claramente que la rapidez es una función lineal del tiempo, comenzando con rapidez v0 en el tiempo cero, y variando luego con pendiente a.
Podemos obtener la aceleración derivando nuevamente:
obteniéndose que la aceleración es constante y de valor a, como se esperaba.
Otra aplicación poderosa de la derivada es que, si tenemos variables físicas que dependan entre sí, es posible también relacionar sus respectivas rapideces de cambio. Consideremos el siguiente ejemplo: se tiene un envase con forma de cono invertido, el cual se llena con agua a un caudal constante (por ejemplo, 10 lt/min), ¿cuál será la rapidez de cambio instantánea respecto del tiempo de su nivel de llenado, para distintos niveles?
Consideremos que el recipiente cónico tiene dimensiones fijas: el radio basal, R, y su altura, H. A medida que se llena con agua, se forma un "cono de agua" de dimensiones r y h, las que varían continuamente a medida que se llena el recipiente.
Conociendo típicas fórmulas de cálculo de volúmenes, se tiene que el volumen V del "cono de agua" se puede expresar como sigue en función de r y h:
De este modo, nos damos cuenta de que dicho volumen varía, puesto que r y h lo hacen. Si embargo, dado que sólo hemos estudiado funciones en una variable, necesitamos expresar dicho en volumen en función de sólo una (no dos, como ahora). Para ello, se utilizará el hecho de que tanto el "cono de agua" como el cono recipiente tienen la misma forma, de modo que se puede expresar r en función de h como sigue:
Luego, remplazando el valor de r en la primera expresión, se obtiene V como función exclusiva de h:
Ahora bien, la expresión anterior se puede utilizar para relacionar las rapideces de cambio instantáneas de V y h respecto del tiempo. Para ello, se derivará con respecto al tiempo a ambos lados de la igualdad, y luego se despejará la rapidez de cambio de h:
en donde, para llegar al penúltimo paso, se utilizó la regla de la cadena para derivar.
Dado que se planteó en un principio que dV/dt sería constante, ésta se remplazará por, digamos, la letra Q. Entonces, resulta:
en donde todos los valores al interior de paréntesis son constantes. De este modo, se puede conocer la rapidez de cambio de la altura de llenado si se conoce la altura de llenado propiamente tal. De la expresión se deduce que, a medida que esta última aumenta, la rapidez de llenado disminuye (lo cual es lógico, dado que el envase se ensancha al recorrer su altura).
Diferenciales y su Aplicación en Física
Éste es probablemente el punto más controversial entre las Matemáticas y otras ramas de la Ciencia y Tecnología. Esto se debe a que, en estas últimas, los diferenciales se tienden a definir y utilizar de un modo que no cumple estrictamente con los formalismos matemáticos, pero que sí ofrece una modalidad bastante práctica e intuitiva para el desarrollo teórico y resolución de problemas.
El diferencial de una variable corresponde a una variación muy pequeña de la misma, que de hecho es más pequeña que cualquier número finito, pero que al mismo tiempo es mayor que cero: es lo que se denomina una variación infinitesimal. Se simboliza con una letra "d" delante de la variable: por ejemplo, un diferencial de posición es dx, un diferencial de tiempo es dt, etc. La definición anterior no es matemáticamente correcta, puesto que la variación de una variable puede ser pequeña o cero, pero no existe algo entre ambos conceptos.
La notación de diferenciales viene implícita en la de derivadas. De este modo, la derivada puede verse como el cuociente del diferencial de la variable dependiente con el diferencial de la independiente. Nuevamente, esta definición no es correcta matemáticamente, puesto que la definición estricta de derivada viene dada por el límite que se explicó en un principio.
Para su aplicación, consideremos nuevamente el vehículo en la carretera, esta vez con una rapidez que varía arbitrariamente en el tiempo. Dicha rapidez se puede expresar como la derivada de su posición respecto del tiempo:
Ahora bien, si consideramos en forma separada los diferenciales de la expresión, podemos despejar dx y escribir:
Podemos interpretar esta expresión como sigue: si conocemos la rapidez del móvil en un cierto instante de tiempo, podemos estimar un pequeño desplazamiento (cambio de posición) del móvil simplemente multiplicando dicha rapidez por el pequeño intervalo de tiempo que le corresponda.
Por ejemplo, podemos considerar lo siguiente: si sabemos que el móvil se desplaza en cierto instante a 3 m/s, y queremos saber cuánto recorrerá en los próximos 0,1 segundos, una buena aproximación sería el producto de ambos: 0,3 m. Este valor no será exacto, puesto que dependerá de cómo varíe realmente la rapidez del móvil en esos 0,1 s, pero sin duda será una buena aproximación. En resumen, lo anterior consiste en aproximar una función no lineal en las cercanías de un punto, con la recta que corresponda al cálculo de la derivada en ese punto. A esto se le llama linealización, y es una herramienta muy poderosa que simplifica cálculos complicados en muchas áreas de la ciencia y tecnología.
El presente desarrollo del tema de Cálculo Diferencial en Una Variable, nos permitirá pasar a la etapa siguiente: Cálculo Integral en Una Variable.
El diferencial de una variable corresponde a una variación muy pequeña de la misma, que de hecho es más pequeña que cualquier número finito, pero que al mismo tiempo es mayor que cero: es lo que se denomina una variación infinitesimal. Se simboliza con una letra "d" delante de la variable: por ejemplo, un diferencial de posición es dx, un diferencial de tiempo es dt, etc. La definición anterior no es matemáticamente correcta, puesto que la variación de una variable puede ser pequeña o cero, pero no existe algo entre ambos conceptos.
La notación de diferenciales viene implícita en la de derivadas. De este modo, la derivada puede verse como el cuociente del diferencial de la variable dependiente con el diferencial de la independiente. Nuevamente, esta definición no es correcta matemáticamente, puesto que la definición estricta de derivada viene dada por el límite que se explicó en un principio.
Para su aplicación, consideremos nuevamente el vehículo en la carretera, esta vez con una rapidez que varía arbitrariamente en el tiempo. Dicha rapidez se puede expresar como la derivada de su posición respecto del tiempo:
Ahora bien, si consideramos en forma separada los diferenciales de la expresión, podemos despejar dx y escribir:
Podemos interpretar esta expresión como sigue: si conocemos la rapidez del móvil en un cierto instante de tiempo, podemos estimar un pequeño desplazamiento (cambio de posición) del móvil simplemente multiplicando dicha rapidez por el pequeño intervalo de tiempo que le corresponda.
Por ejemplo, podemos considerar lo siguiente: si sabemos que el móvil se desplaza en cierto instante a 3 m/s, y queremos saber cuánto recorrerá en los próximos 0,1 segundos, una buena aproximación sería el producto de ambos: 0,3 m. Este valor no será exacto, puesto que dependerá de cómo varíe realmente la rapidez del móvil en esos 0,1 s, pero sin duda será una buena aproximación. En resumen, lo anterior consiste en aproximar una función no lineal en las cercanías de un punto, con la recta que corresponda al cálculo de la derivada en ese punto. A esto se le llama linealización, y es una herramienta muy poderosa que simplifica cálculos complicados en muchas áreas de la ciencia y tecnología.
El presente desarrollo del tema de Cálculo Diferencial en Una Variable, nos permitirá pasar a la etapa siguiente: Cálculo Integral en Una Variable.
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